ARiTMATiK

Matematik biliminin sayilari, bunlarin arasindaki bagintilari ve islemleri konu alan dali. (Bkz. Matematik). Aritmetik kelimesi sayi anlamina gelen Yunanca “arithmos”tan gelmektedir. Sayi, özellikle hesap ve ölçü islemlerine uygulanir.

Günümüzde kullanilan sayi sistemi 10 tabanina göre olup, Arap rakamlarina dayanmaktadir.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

formulas>formulas>

Romen sayilari :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

I II III IV V VI VII VIII IX X

Seyrek olarak kullanilirsa da dört islemleri mümkün olmadigi için terk edilmistir. Bu sistemde sifir sayisi da bulunmaz.

Pozitif sayilar için temel prensipler: iki kümenin elemanlari eslestirilerek bir eleman haline getirilirse esas sayilar elde edilir. Bu sekilde elde edilen bir kümenin elemanlari 1, 2, 3, 4, ...... n seklinde ise o zaman kümenin “n” tane sayi ihtiva ettigi söylenir. Böyle elde edilen sayilar tabii sayilar olarak bilinir. a elemanlarindan meydana gelen bir A kümesi ile b elemanlarindan meydana gelen bir B kümesi birleserek a+b elemanlarindan bir küme meydana getirilirse; a ve b’ye toplanan ve bu sekilde yapilan isleme de toplama islemi adi verilir. + isareti arti diye okunur.

Toplama islemiyle ilgili kurallar:

Toplamanin:

1. Degisme özelligi : a+b=b+a

2. Birlesme özelligi : a+(b+c) = (a+b)+c

Eger a=b+k esitligini saglayan pozitif bir k sayisi varsa; a, b’den büyüktür denir. a>b seklinde gösterilir. Eger a ve b herhangi iki pozitif sayi ise a=b, a<b veya a>b olur.

Ardarda yapilan toplama islemiyle bir ikinci onluk sistem islemi tarif edilebilir. 5+5+5 seklindeki bir islem 3x5 seklinde gösterilebilir. Böylece yapilan isleme çarpma islemi denir. 5 sayisi çarpilan, 3 sayisi çarpan, islemin sonucu da çarpim diye isimlendirilir. x sembolü çarpi diye okunur. Genellikle a.b veya basitçe ab seklinde de yazilabilir.

3. Çarpma isleminin degisme özelligi: ab=ba

4. Çarpma isleminin birlesme özelligi: a(bc)=(ab) c

5. Çarpmanin toplama üzerine dagilma özelligi: (a+b)c=ac+bc

Ardarda toplanan k kadar a’nin ka yazildigi gibi, ardarda çarpilan k kadar a da ak seklinde yazilir. Burada a taban, k de üs diye adlandirilir.

Asagidaki formüller çarpma tanimindan çikarilabilir:

6. a^m.aⁿ=a^m+n

7. (a^m)ⁿ= a^mn

8. a^m.b^m=(ab)^m

9. a^m/aⁿ=a^m-n (m>n)

Bölme islemi: Eger üç pozitif a, b ve c sayilari arasinda ab=c esitligi saglaniyorsa a ve b’ye, c’nin bölenleri ve a ile b, c’yi böler denir. b=a/c seklinde yazilir.

Bölmede bir sayisi etkisiz elemandir ve bütün pozitif sayilarin bölenidir. Eger c sayisi, her biri birden büyük pozitif bir sayi olan a, b sayilarinin bir çarpimi seklinde ab ile gösterilirse c’ye asal olmayan sayi denir. Kendinden ve birden baska sayiya bölünmeyen sayilar asal sayilardir. 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 23, 29...

Pozitif sayilardan meydana gelen bir kümede bütün sayilari bölen en büyük sayiya ortak bölenlerin en büyügü (o.b.e.b.) denir. Pozitif bir m sayisi diger bir çok sayilarin bir kati ise bu sayiya en küçük ortak katsayi adi verilir.

Bayagi kesirler: Bazi problemlerde bütün ölçüler her zaman tam sayilarla ifade edilemezler. Genel olarak d.(1/d)=1 özelliginden faydalanarak kesir birimi 1/d seklinde gösterilir. a/d kesrinde d’ye payda, a’ya da pay denir. a/d pozitif kesri eger a<d ise basit; a>d ise bilesik kesir ismi verilir. Pozitif sayilar ve kesirler bazan pozitif rasyonel sayilar diye de isimlendirilir.

Genelde bütün pozitif rasyonel sayilar için geçerli olan yukarida gösterdigimiz ilk bes kural, bayagi kesirler için de geçerlidir. Kesir tanimindan kolayca görülecegi gibi paydalari ayni olan iki kesir, toplami verilen kesirlerin paylarinin toplami ile ayni paydadan meydana gelen bir kesirdir. Farkli paydalara sahip kesirleri toplamak için mesela a/d ve b/c kesirinde d ve c sayilarinin en küçük ortak katlari bulunur. m=k.d=f.c esitligini saglayan k ve f sayilari bulunduktan sonra islem söyle olur:

a/d=ka/kd=ka/m; b/c=fb/fc=fb/m

böylece a/d+b/c=ka/m+fb/m=(ka+fb)/m

iki kesirin çarpimi ve bölümü asagidaki gibi tariflidir.

(a/d).(b/c)=(ab)/(bc), (a/b):(c/d)= (a/b).(d/c)= (ad/bc)

irrasyonel sayilar: a/b seklinde ifade edilemeyen sayilardir. 3 5, 2 gibi sayilar ve p (pi) bunlardandir.

irrasyonel sayilarla ilgili formüller:

Onluk sistem: Bütün sayilar on’un kuvvetleri seklinde ifade edilebilir. Mesela 32158= 3.10⁴+2.10³+1.10²+5.10¹+8.10⁰ taban olarak 10’luk sistemin kullanilmasi ellerde 10 parmagin olmasindan ileri gelmektedir.